Міністерство освіти і науки України Національний університет „ Львівська Політехніка ” ІКТА Кафедра БІТ З В І Т До лабораторної роботи №4 з курсу: „ Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем ” на тему: „ Чисельне інтегрування функцій однієї змінної ” Варіант 18  Львів – 2011 Мета роботи – ознайомлення з методами наближеного інтегрування означених інтегралів. Метод Сімпсона Цей метод значно точніший у порівнянні з методами прямокутників або трапецій.. Для досягнення тої ж точності в ньому можна брати менше число n ділянок розбиття та відповідно більший крок h, а при одному й тому ж кроці h він дає менші абсолютну та відносну похибки. Розіб’ємо відрізок
на парне число 2n частин довжиною
(9) Нехай точкам розбиття
,
,
відповідають значення підінтегральної функції
(тобто
,
, i=
)
Рис. 4 На відрізку
проведемо через три точки
параболу, якою замінимо підінтегральну функцію
. Рівняння параболи
(10) (причому значення коефіцієнтів А, В, С невідомі). Якщо замінити площу криволінійної трапеції на відрізку
площею криволінійної трапеції, обмеженої параболою (10), то можна записати

(11) Винесемо спільний множник

(12) Невідомі коефіцієнти А, В, С в рівняннях (10), (11) шукаються з умови, що при
Враховуючи, що

(13) Перемножуючи другу рівність (13) на 4 та додаючи всі три рівності, знайдемо
(14) що співпадає з квадратною дужкою рівняння (12). Отже,
(15)
Очевидно, що для кожної наступної пари ділянок одержимо таку ж формулу:
(16) Додаючи рівності вигляду (15) та (16) по всіх відрізках, одержимо :

(17) Це і є формула Сімпсона. Похибка методу (формули парабол) визначається за формулою :
,

(18) При написанні програм доцільно формулу Сімпсона зобразити у вигляді
, (19) де


, тобто

i=
Оцінка похибки за правилом Рунге Оцінка похибки методів інтегрування за формулами (4), (8), (18) досить часто виявляється малоефективною через труднощі, пов’язані з оцінкою похідних підінтегральної функції
. Тому на практиці доволі часто користуються прийомом, запропонованим Рунге. Нехай точне значення інтеграла
,
- його наближене значення, обчислене за однією з квадратурних формул з кроком
,
- наближене значення інтеграла, обчислене за тою ж формулою з кроком
. Граничні значення абсолютних похибок можна записати у вигляді :
(20) k - порядок точності формули ;
(21) М - добуток сталої на похідну. Відповідно можна записати
,
. Віднімемо ці рівності:
Одержимо оцінку похибки за правилом Рунге (враховуючи (21)):
(22) Користуючись формулою (22), можна уточнити наближене значення інтеграла, вважаючи, що:
Таку формулу називають формулою екстраполяції за Річардсоном. Оцінка похибки за методом Рунге для формул прямокутників та трапецій (к=2):
, для формул Сімпсона (
):
. Прийом багатократного зменшення кроку та оцінки похибки можна запрограмувати та одержати алгоритм автоматичного вибору кроку для наближеного обчислення інтеграла з заданою точністю. Правило Рунге використовують, якщо задається гранична абсолютна похибка обчислення інтегралу. Для одержання ефективної програми (при оцінці похибки за правилом Рунге) слід враховувати наступне. В формулах прямокутників, трапецій і Сімпсона при подвоєнні числа кроків нема необхідності обчислювати значення підінтегральної функції знову в усіх вузлах сітки, оскільки вузли сітки, одержані при числі кроків n , є вузлами сітки і при числі кроків 2n. Завдання Скласти програму обчислення означеного інтеграла вказаним викладачем методом.Методи прямокутників, трапецій і Сімпсона зі змінним кроком інтегрування, Гаусса і Чебишова – з сталим. № вар. Підінтегральна функція Інтервал інтегрування Метод Абсолютна похибка  18 
[0; 2] Сімпсона 0,001   Блок-схема алгоритму програми Схема до методу Сімпсона Те...